دست نوشته های یک المپیادی

واترلو در آبادان
۲۶آذر
اصل ضرب: هرگاه عملی از دو بخش مختلف تشکیل شده باشد و بخش اول به m طریق مختلف و به ازای هر کدام از آنها

بخش دوم به n طریق

مختلف قابل انجام باشند، آنگاه انجام آن عمل m  n حالت مختلف دارد. این اصل تعمیم نیز دارد.

 مثال: با ارقام 2 ،1 و 3 چند عدد 5 رقمی میتوان ساخت؟

 حل: عدد پنج رقمی را بهصورت در نظر میگیریم. در هر خانه میتوان یکی از ارقام ذکر شده را به کار برد، بنابراین

5       برای هر خانه 3 حالت وجود دارد. طبق اصل ضرب تعداد کل حالات برابر است با: 3 3 3 3 3 3 243

 نکتهی(1): اگر دربین ارقام داده شده برای ساختن اعداد، رقم صفر وجود داشته باشد نمیتوان آن را در خانهی سمت چپ

عدد مورد نظر به

کار برد، زیرا صفر در سمت چپ یک عدد خوانده نمیشود.

 نکتهی(2): بهطور کلی در ساختن اعداد یا کلمات ، اگر تکرار مجاز نباشد، باید هر رقم یا حرفی را که در یک خانه استفاده

میکنیم، کنار

بگذاریم و آن را در تعداد حالات خانهی بعدی در نظر نگیریم.

 مثال: با حروف d ، c ، b ، a و e چند کلمهی 3 حرفی میتوان ساخت؟ (تکرار حروف مجاز نمیباشد)

 سوم دوم اول

 حل: کلمهی 3 حرفی را بهصورت در نظر میگیریم. در خانهی اول یکی از پنج حرف داده شده استفاده میشود یعنی در

خانهی

اول پنج حالت وجود دارد. در خانهی دوم چهار حالت امکانپذیر است زیرا یکی از حروف در خانهی اول استفاده شده بود و تکرار

مجاز

نمیباشد. به همین ترتیب در خانهی سوم سه حالت امکانپذیر است. طبق اصل ضرب تعداد کل حالات برابر است با:

5  4  3  60

فاکتوریل: حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n را با نماد !n ) n فاکتوریل) نشان میدهیم.

 n! n  (n 1)  (n  2) ... 3  21  n  (n 1)!

قرار داد: 0! 1 (صفر فاکتوریل برابر یک است)

جایگشت: تعداد حالات قرار گرفتن n شیء متمایز در کنار هم برابر !n است. هر حالت را یک جایگشت مینامیم.

 نکتهی(3): تعداد حالات قرار گرفتن n شیء یکسان در کنار هم برابر یک است. یعنی با جابجایی اشیای یکسان حالت جدید

 ایجاد نمیشود.

 مثال: پنج نفر به چند طریق میتوانند در یک ردیف کنار هم قرار بگیرند؟

 حل: پنج نفر در واقع پنج شیء متمایز هستند. بنابراین تعداد حالات قرار گرفتن آنها در کنار هم برابر !5 است.

 نکتهی(4): اگر در محاسبهی تعداد جایگشتهای n شیء متمایز قرار باشد چند شیء مشخص همواره در کنار هم باشند،

کافی است آنها را

یک شیء در نظر بگیریم و تعداد جایگشتهای آن را با بقیهی اشیا محاسبه کنیم. در آخر تعداد جایگشتهای خود آن اشیاء
مشخص را نیز

حساب کرده و در جواب قبلی ضرب میکنیم.

 مثال: شش کتاب ریاضی متمایز را به چند طریق میتوان در یک ردیف قفسهی کتابخانه کنار هم چید بهطوری که سه کتاب

ریاضی مشخص

همواره کنار هم باشند؟

 حل: سه کتاب مورد نظر را یک شیء فرض میکنیم. این یک شیء به همراه سه کتاب باقیمانده در واقع چهار شیء متمایز

هستند که !4

تعداد جایگشتهای آن است. خود آن سه کتاب نیز در کنار هم!3 جایگشت دارند. بنابراین جواب سؤال !4! 3 است.

 نکتهی(5): اگر n شیء داشته باشیم که n1 تای آن از نوع اول و n2 تای آن از نوع دوم و ... nk تای آن از نوع k اُم باشد،

تعداد

! n ! n ! ... n جایگشتهای مختلف آنها برابر است با:
n!
k    1 2

 مثال: با ارقام 4 ،4 ،3 ،3 ،1 ،1 و 4 چند عدد هفت رقمی میتوان ساخت؟

 حل: 7 شیء داریم که دوتای آنها از نوع اول (عدد یک)، دو تای آنها از نوع دوم (عدد 3) و سه تای آنها از نوع سوم (عدد

چهار) است. بنابراین

7 6 5 210 :داریم 5 تذکر مطابق 2 2 3
7 6 5 4 3

2 2 3
7      
       !
!
! ! !
!
ترتیب (تبدیل): هرگاه بخواهیم از بین n شیء متمایز r شیء را انتخاب کنیم بهطوری که ترتیب در آنها اهمیت داشته باشد، از

 فرمول ترتیب

استفاده میکنیم: (

r n)

(n r)!
n! P(n , r)   

آنالیز ترکیبی

 مثال: به چند طریق میتوان از بین 7 نفر، سه نفر را برای پستهای رییس، معاون و منشی انتخاب کرد؟

 حل: بدیهی است که در این انتخاب ترتیب اهمیت دارد. زیرا اگر شخصی به عنوان رییس انتخاب شود و

شخص دیگری به عنوان معاون

انتخاب شود، با جابجایی این دو نفر در پستها، حالت جدیدی ایجاد میشود. بنابراین از فرمول ترتیب استفاده

میکنیم:
7 6 5 210

4
7 6 5 4
4
7
7 3
7
7 3            !
!
!
!
( )!
! P( , )
ترکیب: هرگاه بخواهیم از بین n شیء متمایز r شیء را انتخاب کنیم (بدون توجه به ترتیب آنها) از فرمول ترکیب

استفاده میکنیم:

(r n) (n r)! r!
n!
r
n C(n , r)    






 
 مثال: به چند طریق میتوان از بین 7 نفر، سه نفر را انتخاب کرد؟

 حل: در این سؤال هیچ ترتیبی برای آن سه نفر ذکر نشده است (با مثال قبل مقایسه کنید) بنابراین از فرمول

ترکیب استفاده میکنیم.

35
4 3
7 6 5 4
7 3 3
7
7 3  
       ! !
!
( )! !
! C( , )
 نکتهی (6): روابط زیر در محاسبهی ترکیب مهم هستند:
2
1
2
n n(n  ) 






 n n
n n 







 







1 1
1 0 






 







n
n n
n r r :(7) نکتهی  r
n
r
n     







 








 :مثال  






 







9
12
3
12 






 







8
10
2
10 






 







4
7
3
7

  نکتهی (8): تعداد زیرمجموعههای r عضوی از یک مجموعهی n عضوی برابر است با: 





r
n
 n 2 نکتهی (9): تعداد کل زیرمجموعههای یک مجموعهی n عضوی برابر است با:
n
n
n ... n n n 2 0 1 2 







  























     

 مثال: مجموعهی اعداد طبیعی یک رقمی چند زیرمجموعهی سه عضوی دارد؟
 حل: مجموعهی اعداد طبیعی یک رقمی شامل 9 عضو است. بنابراین تعداد زیرمجموعههای سه عضوی آن برابر است با:
3 4 7 84
3 2 1
9 8 7
6 3
9 8 7 6
9 3 3
9
3
9
9 3      
   
      






  ! !
!
( )! !
! C( , )

  نکتهی (10): رابطهی روبهرو همواره برقرار است: 




 








 






 
r
n
r
n
r
n
1
1 1





آزمایش یا پدیدهی تصادفی: آزمایشی که قبل از وقوع، نتیجهی آن معلوم نباشد ولی نتایج ممکن آن مشخص

باشند، یک آزمایش تصادفی یا

پدیدهی تصادفی نامیده میشود.

 مثال: پرتاب سکه و پرتاب تاس، آزمایشهایی هستند که نتایج آنها قبل از وقوع معلوم نیست ولی قابل حدس

زدن است.

الف- فضای نمونهای: مجموعهی همهی حالات ممکن یک پدیدهی تصادفی، فضای نمونهای نامیده میشود و معمولاً آن را با S نمایش میدهیم.

 S1  {پ , ر} :سکه یک پرتاب و S2  {1 , 2, 3, 4, 5, 6} :تاس یک پرتاب :مثال

 نکتهی (1): هر نتیجهی ممکن، یعنی هر عضو S را یک برآمد مینامیم. در هر آزمایش تصادفی تنها یکی از

اعضای مجموعه رخ میدهد.

ب- فضای پیشامد: به هر زیر مجموعه از فضای نمونهای، یک پیشامد گفته میشود. مانند:

2 B  {2,3,5} تاس شدهی رو عدد بودن اول پیشامد :
B  S
1 A  {پ} سکه آمدن پشت پیشامد : A  S
تمام زیرمجموعهها

مقدمات

فضای نمونهای

فضای پیشامد

محاسبهی احتمال

 نکتهی (2): وقتی میگوییم یک پیشامد رخ داده است (به وقوع پیوسته است)، یعنی عضوی از آن پیشامد به

عنوان نتیجهی آزمایش، مشاهده

شده است.

 نکتهی (3): هر زیرمجموعهی تک عضوی از فضای نمونهای را پیشامد ساده مینامیم.

2 است.  n نکتهی (4): اگر فضای نمونهای یک پدیدهی تصادفی n عضو داشته باشد، تعداد پیشامدها همان

تعداد زیر مجموعهها یعنی

 نکتهی (5): برای محاسبهی تعداد اعضای فضای نمونهای چند آزمایش با هم، مطابق اصل ضرب، تعداد حالات

مختلف آزمایشها را درهم

ضرب میکنیم.
 مثال: فضای نمونهی پرتاب دو سکه و یک تاس با هم، 22 6  24 عضو دارد. (هر سکه 2 حالت و هر تاس

6 حالت مختلف دارد)

n محاسبهی احتمال: اگر فضای نمونهای S دارای n برآمد هم شانس باشد، احتمال وقوع هر برآمد برابر

است و اگر پیشامد A از این فضا دارای 1

m n برآمد باشد،

P(A)  برقرار است. بنابراین برای محاسبهی احتمال وقوع یک پیشامد در فضای گسسته کافی است تعداد

اعضای فضای m

پیشامد را بر تعداد اعضای فضای نمونهای تقسیم کنیم.

n(S)
n(A) A  S  P(A) 
 0  P(A)  1 :داریم ،باشد S از پیشامدی A اگر :(6) نکتهی 





پیشامد متمم: A را متمم پیشامد A میگویند. (P(A یعنی محاسبهی احتمال این که پیشامد A اتفاق نیفتد.

 
P(A)  1 P(A)

 نکته: معمولاً زمانی از پیشامد متمم استفاده میشود که تعداد حالات پیشامد خواسته شده زیاد و تعداد حالات متمم آن کم باشد.
 مثال: در پرتاب 6 سکه با هم، احتمالی را حساب کنید که حداکثر 5 بار «رو» ظاهر شود.
2 2  2 2 2 2  2 یعنی 64 عضو دارد.  6 حل: هر سکه 2 حالت دارد. بنابراین فضای نمونهای پرتاب 6 سکه با هم، مطابق اصل ضرب
حداکثر 5 بار «رو» یعنی 5 بار یا 4 بار یا 3 بار یا 2 بار یا 1 بار یا هیچ بار «رو»، همانطور که ملاحظه میکنید محاسبهی تعداد این حالات زیاد
است. متمم این پیشامد یعنی اینکه همهی سکهها «رو» ظاهر شوند که فقط یک حالت است.
64
63
64
1 P( «رو» بار 5 حداکثر )  1 P( «رو» بار 6)  1 
عملیات بر روی پیشامدها
A ) A B یا B : پیشامد رخ دادن حداقل یکی از دو پیشامد)


A ) A B و B : پیشامد رخ دادن هر دو پیشامد)



پیشامدهای سازگار و ناسازگار: اگر دو پیشامد با هم اشتراک نداشته باشند، ناسازگارند و در غیر این صورت

 سازگار خواهند بود.

 مثال: در پرتاب یک تاس، پیشامدهای زوج بودن عدد رو شده و فرد بودن عدد رو شده، ناسازگارند.

پیشامدهای زوج بودن عدد رو شده و

اول بودن عدد رو شده، سازگارند.

   .ناسازگارند B و A 



 A B
B { , , }
A { , , } 
1 3 5
2 4 6
  .سازگارند B و A 



 A B { } B { , , }
A { , , } 2
2 3 5
2 4 6 



اعداد زوج تاس
اعداد فرد تاس
اعداد زوج تاس
اعداد اول تاس
s
قوانین احتمال
پیشامد متمم
اجتماع دو پیشامد

اجتماع دو پیشامد ناسازگار:
 A B    P(A B)  P(A)  P(B)

اجتماع دو پیشامد سازگار:
 A B    P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B)

 مثال: اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند و
5
2
و P(A)  3
1 .آورید دست به را P(A B) آنگاه ، P(B) 
 15
11
3
1
5
2 A B    P(A B)  P(A)  P(B)   
اتفاق B پیشامد ولی بیفتد اتفاق A پیشامد آنکه یعنی A  B پیشامد : (A  B) A  B پیشامد
نیفتد. با توجه به شکل داریم:
 P(A  B)  P(A)  P(A  B)
 A  B  A  B


دو پیشامد مستقل: دو پیشامد A و B از یک فضا را مستقل از هم مینامیم، هرگاه وقوع یکی بروقوع دیگری

 بیتأثیر باشد.

 مثال: جنسیت فرزندان، پیشامدهای مستقل از هم است. جنس فرزند دوم، ربطی به دختر یا پسر بودن

فرزند اول ندارد. در مورد سکهها، یا

تاسها نیز اینگونه است. یعنی اینکه در دومین پرتاب یک تاس، چه عددی رو میشود، ربطی به عدد تاس اول

ندارد.

 نکتهی (1): هرگاه دو پیشامد مستقل نباشند، یعنی وقوع آنها به هم مرتبط باشد، آنها را وابسته مینامیم.

 .برعکس و P(A  B)  P(A) P(B) :داریم ،باشند مستقل پیشامد دو هرگاه :(2) نکتهی

 نکتهی (3): اگر A و B مستقل باشند، A و A ، B و A ، B و B نیز مستقل هستند.

 مثال: اگر A و B دو پیشامد مستقل باشند و P(A)  0/ 3 و P(B)  0/ 2 ، آنگاه احتمال رخداد هر دو پیشامد

را به دست آورید.

 
P(A B)  P(A) P(B) 0/ 30/2  0/06

مثال: اگر احتمال قبولی شخص A در کنکور ریاضی، 70 درصد و احتمال قبولی شخص B در کنکور تجربی، 40

درصد باشد، احتمال

پیشامدی را حساب کنید که A قبول شود و B قبول نشود؟

قبولی درکنکور ریاضی وتجربی مستقل از هم هستند.

 P(A B)  P(A) P(B)  P(A)(1 P(B)) 0/ 70/ 6 0/ 42

نکتهی (4): استقلال پیشامدها ارتباطی به سازگار یا ناسازگار بودن آنها ندارد. اگر دو پیشامد مستقل،

ناسازگار باشند، آنگاه داریم:

 P(A  B)  P(A) P(B)  0  P(A)  0 یا P(B)  0


احتمال شرطی: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونهای S باشند و پیشامد B اتفاق افتاده

باشد، آنگاه احتمال آن که پیشامد A اتفاق بیفتد را بهصورت (P(A | B تعریف میکنند.

(P(B (بخوانید احتمال وقوع A بهشرط آنکه B اتفاق افتاده باشد)

P(A B) P(A | B)  

همانطور که در شکل میبینید، سهمی از A مورد نظر است که در B وجود دارد یعنی A  B .

پیشامدهای مستقل

احتمال شرطی قاعدهی احتمال کل (روش نمودار درختی)

 مثال: در پرتاب دو تاس اگر بدانیم که مجموع اعداد رو شده بزرگتر یا مساوی 10 آمده است، با چه احتمالی

هر دو عدد با هم برابر هستند؟

 حل: اگر پیشامد B را بزرگتر یا مساوی 10 آمدن مجموع دو تاس و پیشامد A را برابر بودن هر دو عدد تعریف

کنیم، (P(A | B خواسته

شده است. میدانیم فضای نمونهای پرتاب دو تاس 6  6  36 حالت دارد.
 
A  {(1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) , (6 , 6)}
36

6 B  {(4 , 6) , (6 , 4) , (5 , 5) , (5 , 6) , (6 , 5) , (6 , 6)}  P(B) 
36

2 A  B  {(5 , 5) , (6 , 6)}  P(A  B) 
3
1
6
2
36
6
36
2
    P(B)

P(A B) P(A | B) 

B نیز دو پیشامد ناسازگار از همین فضا باشند، به B 2 و 1 قاعدهی احتمال کل یا قانون جمع احتمالات: اگر A

پیشامدی از فضای نمونهای S و

P(A) P(B ) P(A | B ) P(B ) P(A | B ) :داریم آنگاه ، B1 B2  S که طوری 1 1 2 2


   
 نکته: مسائل مربوط به قانون جمع احتمالات را به روش نمودار درختی حل میکنیم.




توزیع دوجملهای (شکست یا پیروزی): اگر آزمایشی فقط دو حالت داشته باشد و آن را n مرتبه انجام دهیم،

توزیع دوجملهای ایجاد میشود که

فرمول احتمال وقوع x بار از یکی از آن دو حالت بهصورت زیر است:
x n x P ( P) x
n P(x)     






  1
در این فرمول P احتمال خواسته شده (یکی از آن دو حالت) است.

 مثال: 60 درصد ممکن است شوت یک بازیکن گل شود. او در یک مسابقه 5 شوت میزند، با چه احتمالی فقط 3

 شوت او گل میشود؟

 :داریم .است n  5 و x  3 و P  0/ 6 سؤال این در :حل  3 5 3 3 2 0 6 0 4
3
5 0 6 1 0 6
3
5
P(3) ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) 






    






  
 نکته: اگر احتمال شکست یا پیروزی با هم برابر باشند (مانند جنس فرزند یا پرتاب سکه در حالت همشانس)

فرمول توزیع دوجملهای

بهصورت زیرساده میشود:
n
x
n
P(x)
2








 
دقت کنید که در فرمول اصلی به جای P ، عدد
2
قرار دادهایم. در این فرمول x تعداد دفعات خواسته شده و n تعداد کل دفعات است. 1

 مثال: با چه احتمالی در یک خانواده با 5 فرزند، فقط 3 دختر وجود دارد؟

 حل: در این سؤال
2
1 :داریم .است n  5 و x  3 و P 
16
5
32
10
2
3
5
3
5  








 P(
موافقین ۰ مخالفین ۰ ۹۳/۰۹/۲۶

نظرات  (۰)

هیچ نظری هنوز ثبت نشده است

ارسال نظر

ارسال نظر آزاد است، اما اگر قبلا در بیان ثبت نام کرده اید می توانید ابتدا وارد شوید.
شما میتوانید از این تگهای html استفاده کنید:
<b> یا <strong>، <em> یا <i>، <u>، <strike> یا <s>، <sup>، <sub>، <blockquote>، <code>، <pre>، <hr>، <br>، <p>، <a href="" title="">، <span style="">، <div align="">
تجدید کد امنیتی