دست نوشته های یک المپیادی

واترلو در آبادان
۲۶آذر


سلام . نام من محمد رضا خرمی است . سن من 16سال است. من در سن12سالگی  در آزمون واترلو کانادا  شرکت کردم .

خوشبختانه  توانستم  درسن
15سالگی مقام کشوری بیاورم و جزء نفرات1تا 10 قبول شدگان  شهرستان آ بادان باشم



می خواهم دراین صفحه تعدادی ازمسئله هایی راکه من آن هارا میخوانم وحل می کنم را با جواب بنویسم.

1- آنالیز ترکیبی مقدماتی:

جلد(1)        جلد(2)        جلد(3)       جلد(4)        جلد(5)               جلد پایان ترم (نمنه سوال)

 

 

2- معادلات جبری:

جلد(1)        جلد(2)        جلد(3)       جلد(4)        جلد(5)               جلد پایان ترم (نمنه سوال)

 

 

3- هندسه:

جلد(1)        جلد(2)        جلد(3)       جلد(4)        جلد(5)               جلد پایان ترم (نمنه سوال)

 

جلد(1)آنالیز      


درس اول

مثال (1): معلم ریاضی در دوپایه ی دوم وسوم راهنمایی درس می دهد. اگر 48 دانش آموزدوم و 44

دانش آ موز سوم را نمایی درس بدهد- این معلم چند دانش آموز را درس می دهد؟                              

حل:  تعداد دانش آموزان دوم+ تعداد دانش آموزان سوم= تعداد کل دانش آموزان 92=44+48

تمرین ها:  1-در کیسه ای 7مهره ی آبی و5 مهره ی قرمز وجود دارد.به چند طریق می توان یک مهره از

این کیسه ها انتخاب کرد؟                                                                     12=5+7                    

2-احمد در قفسه های کتاب خانه 10کتاب درسی 12 کتاب غیر درسی دارد.او چند کتاب در قفسه های

کتاب خانه دارد؟                                                                            22=10+12  


در پست بعدی نمونه سوالات درس دوم وسوم را خواهم گذاشت.


                                                                                                                                                                                               درس دوم


مثال (1):مدرسه ای دو تیم فوتبال و والیبال دارد. 15نفر برای تیم  فوتبال و 8 نفر برای تیم والیبال . می توانید


بگویید چند نفر  از این مدرسه در این کلاس ها شرکت دارند .


حل:شاید شما فکر کنید که {23=8+15} جواب درستی باشد اما این گونه نیست. قانونا  ادامه سوال به این شکل است :


اگر  3 دانش آموز مشترک  وجود داشته باشند که در آن دو تیم بالا شرکت کرده باشند حالا بگویید گه چند نفر از آن مدرسه در   این دوتیم بالا شرک کرده اند؟ 


حل درست: تعداد دانش آموزان تیم فوتبال+  تعداد دانش آموزان تیم والیبال_  تعداد دانش آموزان مشترک


                                 20 = 323 = 15 + 8


تمرین ها:  2مجموعه ای داریم به نام : (A و B).مجموعه ی (A) 35عضو ومجموعه ی (B) 27عضو


            دارد.اگر 9عضو درآن دومجموعه ی بالا مشترک باشند حالا بگویید گه چند در آن 2 مجموعه ی  بالا


          شرکت دارند.


حل درست:  تعداد عضو های مجموعه ی(A) + تعداد عضو های مجموعه ی(B)_  تعداد عضو های مشترک


                              53 = 9 63 = 35 + 27
۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ آذر ۹۳ ، ۰۱:۰۶
عرفان خرمی
۲۹آذر

آزمون زبان انگلیسی (1)   درس 1 و 2   نام و نام خانوادگی : ....................................................................   کلاس : اول ............   دبیرستان : .............................

1. کلمات ناقص زیر را کامل کنید. (3نمره)

1. There are many countr – – s all over the wo – ld.

2. Children go to kinde – g – rten when they are 3 or 4 years old.

3. He reme – bered his school and his garden.

4. He picks the br – wn coconuts and dro – s them down to the farmer.

 

2. با استفاده از کلمات داده شده جملات زیر را کامل کنید. (یک کلمه اضافه است.) (4نمره)

 

 important – help – difficult – beautiful – laugh – grow – aunt – swim – climb

 

5. Monkeys are funny animals because they make us …………………….. .

6. Cats can ………………… trees very easily.

7. Iranians …………………… a lot of rice in the North.

8. Could you please …………….. me with my English?

9. This book doesn’t have any ………………………. pictures.

10. It is very ……………………. to climb a tall tree.

11. You shouldn’t let your children ………………………. in this part of the river.

12. It is ……………………. to learn English.

3. جملات زیر را با نوشتن یک کلمه ی مناسب کامل کنید. (1نمره)

13. We pick fruits when they are …………… .

14. He didn’t have any friends. He had to play ………………. .

 

4. مترادف یا متضّاد کلمات مشخّص شده را انتخاب کنید. (1نمره)

15. You need to pay for what you want to buy. (…..)                            a. grow

16. I love my mother a lot. (…..)                                                           b. give money

17. We raise vegetables in my garden. (…..)                                        c. a piece of land

18. The cat is going up the tree. (…..)                                                   d. dislike

                                                                                                              e. down

 5. بهترین گزینه را انتخاب کنید. (2نمره)

19. Give me a glass of water. I am very …………………. .

      a. hungry          b. clever          c. thirsty          d. funny

20. We had to ……………………. for the school bell to go home.

      a. remember     b. wait             c. pay              d. become

21. You shouldn’t …………….. pretty flowers in the park.

      a. look               b. pick             c. boil              d. leave

22. How …………. is it from here to your home?

      a. much             b. many           c. long             d. far

6. بهترین گزینه را انتخاب کنید. (2نمره)

23. Ali is sick today, so he ……………….. stay in bed.

      a. could             b. should          c. must          d. had to

24. It is easy ………………. English.

      a. to speak        b. speaking      c. speaks       d. speak

25. We had an exam yesterday. We ………………… study hard.

       a. have to         b. had to          c. must           d. should

26. How is the weather? ……….. very cold.

       a. It                   b. Am I            c. It is              d. Is it

 

7. با توجه به تصاویر به سؤالات زیر پاسخ دهید. (2نمره)   

27. How is the weather?          

      …………………………………. .

 

 

 

28. What is it?

     …………………………………. .

 

8. با توجه به کلمات داخل پرانتز، جملات ناقص زیر را کامل کنید. (2نمره)

29. He didn’t have a bicycle. (walk to school)

      ……………………………………………………………………... .

30. They don’t know the address. (ask a policeman)

       …………………………………………………………………………......... .

9. با کلمات زیر جمله بسازید. (2نمره)                                                                                                                             

31. ago – speak – I – years – couldn’t – three – English.

     ……………………………………………………………………………………………… . 

 32. sometimes – Ali – in the library – studies – on Sundays – books – his.

    ………………………………………………………………………………………………………………………….. .                                                                                                                          

   10. پاسخ سؤالات قسمت A را از بین پاسخهای قسمت B انتخاب کنید. (یک پاسخ اضافه است.) (3نمره)

______________A______________                               ____________B____________

33. What’s your last name? (…..)                                        a. Yes, just a moment, please.

34. Could I speak to Mr Amini? (…..)                                  b. He’s from Turkey.

35. Where’s he from? (…..)                                                 c. I’m a teacher.                                

36. What do you do? (…..)                                                  d. My last name is Amini.

37. Who’s speaking, please? (…..)                                     e. He is John.

38. What’s your address? (…..)                                           f. This is Reza.

                                                                                           g. 12 Hafez Street

11. کدام کلمه از نظر تلفّظ با سه کلمه ی دیگر متفاوت است؟ (1نمره)

39. a. twenty               b. why                 c. my                 d. cry

40. a. tool                    b. you                 c. true                d. put

41. a. win                    b. wide                c. sing               d. sit

42. a. fool                    b. rule                 c. soup              d. book

12. با توجه به مفهوم جملات، گزینه های درست را انتخاب کنید. (3نمره)

43. I want to buy a book, but I don’t have any money to pay for it. It means that ……..………………. .

      a. I have to buy it          b. I don’t have to buy it          c. I can’t buy it          d. I can pay for it

 

44. Coconuts grow at the tops of tall trees. The trees are in the jungles of hot lands. So coconut trees grow .…… .

      a. in all parts of the world                                            b. in the jungles of hot lands

      c. in a few countries                                                    d. far from farmers’ houses

 

45. Friedrich had to sit on a hard chair and look at his books. It was no fun. It means that he .………………………. .

      a. didn’t like school very much                                     b. had no fun to look at books

      c. had to play with his friends                                       d. didn’t have beautiful books                                                          

13. متن زیر را بخوانید و به سؤالات به صورت خواسته شده پاسخ دهید. (4نمره)

 

Tom’s uncle has a small farm. He has a lot of chickens there. He sells eggs and chickens. Every summer Tom goes to his farm and helps him. Tom helps him. He feeds the chickens, collect and clean the eggs. There are other animals like cows and horses there, too. Tom has a good time there and enjoys his holidays.

                                                                                                                                                                      

46. When does Tom go to his uncle’s farm?     …………………………………………................................. .

 

47. How large is his uncle’s farm?     …………………………………………………. .

 

48. There are only chickens in his farm.            a. True                      b. False

49. Tom gives food to the chickens.                  a. True                      b. False

 

50. Tom goes to his uncle’s farm …………………….. .

       a. to help him                   b. to have fun                       c. to eat the eggs                 d. to collect the eggs

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۹ آذر ۹۳ ، ۱۷:۴۶
عرفان خرمی
۲۹آذر

                                                                             به نام خدا

نام ونام خانوادگی: ...................................                        کلاس: ..................                                         درس اول- زبان 1

 


                                

الف-      دیکته: کلمات ناقص را کامل کنید. (5/1)

1- There are many  co – ntries  all over the  w – rld.

2- He made school a  hap – ier  pl – ce  for little children.

3- This is a  pi – ture  of a  pret – y  garden.

 

ب-        کلمات داده شده را در جاهای خالی قرار دهید. ( یک کلمه اضافی است) (3)

                                      pay- waiting- die- love- alone- fun- grow up”

1- We …………………… our parents very much.

2- There were no one at home last night. I was ………………….. .

3- How much money did you  ……………….. for the book?

4- When I …………………….. , I will buy a garden.

5- “What are you doing here?” “ I’m  ………………….. for a taxi.”

6- Last Friday we went to the zoo. It was …………… to see the monkeys.           

 

ج-         گزینه صحیح را انتخاب کنید. (2)

1- Why don’t you pay ………… to the teacher?

        a- money                       b- attention                      c- something                    d- anything

2- The dog is hungry. I want to give it something to ……………….. .

       a- go                              b- cut                                c- eat                                d- drink

3- Reza didn’t know the answer. He ………………… ask the teacher.

        a- has to                         b- have to                        c- had to                           d- can

4- I …………….. ride a bicycle last year, but now I can.

        a- couldn’t                     b- could                           c- can’t                             d- can                 

 

د-          با توجه به کلمات داخل پرانتز جملات را تغییر دهید.(1)

1-  You must clean the room now. (before)

1- ……………………………………………….. .

2- She can’t swim this year. (last year)

2- ……………………………………………….. .   

 

ه-          در هر شماره کدام  کلمه از نظر تلفظ حرف صدادار با بقیه متفاوت است؟ (5/0)

1- a) try                                 b) cry                               c) sign                              d) say

2- a) drive                             b) live                               c) five                              d) wide    

 

و-         با توجه به مفهوم جملات داده شده، بهترین گزینه را انتخاب کنید . (2)

1- I want to buy a pen, but I don’t have any money to pay for it. So I …………………… .

      a- had to buy the pen                                               b- can’t buy the pen

      c- have to pay for it                                                 d- can pay for it

2- My little sister doesn’t have any friends here. That’s why she …………………….. .

      a- goes to school every day                                     b- is playing with her friends

      c- is playing alone                                                   d- goes to kindergarten        

 

 

                                                                                                                     Good Luck

                                                                                                                        

۰ نظر موافقین ۱ مخالفین ۰ ۲۹ آذر ۹۳ ، ۱۷:۲۶
عرفان خرمی
۲۶آذر
اصل ضرب: هرگاه عملی از دو بخش مختلف تشکیل شده باشد و بخش اول به m طریق مختلف و به ازای هر کدام از آنها

بخش دوم به n طریق

مختلف قابل انجام باشند، آنگاه انجام آن عمل m  n حالت مختلف دارد. این اصل تعمیم نیز دارد.

 مثال: با ارقام 2 ،1 و 3 چند عدد 5 رقمی میتوان ساخت؟

 حل: عدد پنج رقمی را بهصورت در نظر میگیریم. در هر خانه میتوان یکی از ارقام ذکر شده را به کار برد، بنابراین

5       برای هر خانه 3 حالت وجود دارد. طبق اصل ضرب تعداد کل حالات برابر است با: 3 3 3 3 3 3 243

 نکتهی(1): اگر دربین ارقام داده شده برای ساختن اعداد، رقم صفر وجود داشته باشد نمیتوان آن را در خانهی سمت چپ

عدد مورد نظر به

کار برد، زیرا صفر در سمت چپ یک عدد خوانده نمیشود.

 نکتهی(2): بهطور کلی در ساختن اعداد یا کلمات ، اگر تکرار مجاز نباشد، باید هر رقم یا حرفی را که در یک خانه استفاده

میکنیم، کنار

بگذاریم و آن را در تعداد حالات خانهی بعدی در نظر نگیریم.

 مثال: با حروف d ، c ، b ، a و e چند کلمهی 3 حرفی میتوان ساخت؟ (تکرار حروف مجاز نمیباشد)

 سوم دوم اول

 حل: کلمهی 3 حرفی را بهصورت در نظر میگیریم. در خانهی اول یکی از پنج حرف داده شده استفاده میشود یعنی در

خانهی

اول پنج حالت وجود دارد. در خانهی دوم چهار حالت امکانپذیر است زیرا یکی از حروف در خانهی اول استفاده شده بود و تکرار

مجاز

نمیباشد. به همین ترتیب در خانهی سوم سه حالت امکانپذیر است. طبق اصل ضرب تعداد کل حالات برابر است با:

5  4  3  60

فاکتوریل: حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n را با نماد !n ) n فاکتوریل) نشان میدهیم.

 n! n  (n 1)  (n  2) ... 3  21  n  (n 1)!

قرار داد: 0! 1 (صفر فاکتوریل برابر یک است)

جایگشت: تعداد حالات قرار گرفتن n شیء متمایز در کنار هم برابر !n است. هر حالت را یک جایگشت مینامیم.

 نکتهی(3): تعداد حالات قرار گرفتن n شیء یکسان در کنار هم برابر یک است. یعنی با جابجایی اشیای یکسان حالت جدید

 ایجاد نمیشود.

 مثال: پنج نفر به چند طریق میتوانند در یک ردیف کنار هم قرار بگیرند؟

 حل: پنج نفر در واقع پنج شیء متمایز هستند. بنابراین تعداد حالات قرار گرفتن آنها در کنار هم برابر !5 است.

 نکتهی(4): اگر در محاسبهی تعداد جایگشتهای n شیء متمایز قرار باشد چند شیء مشخص همواره در کنار هم باشند،

کافی است آنها را

یک شیء در نظر بگیریم و تعداد جایگشتهای آن را با بقیهی اشیا محاسبه کنیم. در آخر تعداد جایگشتهای خود آن اشیاء
مشخص را نیز

حساب کرده و در جواب قبلی ضرب میکنیم.

 مثال: شش کتاب ریاضی متمایز را به چند طریق میتوان در یک ردیف قفسهی کتابخانه کنار هم چید بهطوری که سه کتاب

ریاضی مشخص

همواره کنار هم باشند؟

 حل: سه کتاب مورد نظر را یک شیء فرض میکنیم. این یک شیء به همراه سه کتاب باقیمانده در واقع چهار شیء متمایز

هستند که !4

تعداد جایگشتهای آن است. خود آن سه کتاب نیز در کنار هم!3 جایگشت دارند. بنابراین جواب سؤال !4! 3 است.

 نکتهی(5): اگر n شیء داشته باشیم که n1 تای آن از نوع اول و n2 تای آن از نوع دوم و ... nk تای آن از نوع k اُم باشد،

تعداد

! n ! n ! ... n جایگشتهای مختلف آنها برابر است با:
n!
k    1 2

 مثال: با ارقام 4 ،4 ،3 ،3 ،1 ،1 و 4 چند عدد هفت رقمی میتوان ساخت؟

 حل: 7 شیء داریم که دوتای آنها از نوع اول (عدد یک)، دو تای آنها از نوع دوم (عدد 3) و سه تای آنها از نوع سوم (عدد

چهار) است. بنابراین

7 6 5 210 :داریم 5 تذکر مطابق 2 2 3
7 6 5 4 3

2 2 3
7      
       !
!
! ! !
!
ترتیب (تبدیل): هرگاه بخواهیم از بین n شیء متمایز r شیء را انتخاب کنیم بهطوری که ترتیب در آنها اهمیت داشته باشد، از

 فرمول ترتیب

استفاده میکنیم: (

r n)

(n r)!
n! P(n , r)   

آنالیز ترکیبی

 مثال: به چند طریق میتوان از بین 7 نفر، سه نفر را برای پستهای رییس، معاون و منشی انتخاب کرد؟

 حل: بدیهی است که در این انتخاب ترتیب اهمیت دارد. زیرا اگر شخصی به عنوان رییس انتخاب شود و

شخص دیگری به عنوان معاون

انتخاب شود، با جابجایی این دو نفر در پستها، حالت جدیدی ایجاد میشود. بنابراین از فرمول ترتیب استفاده

میکنیم:
7 6 5 210

4
7 6 5 4
4
7
7 3
7
7 3            !
!
!
!
( )!
! P( , )
ترکیب: هرگاه بخواهیم از بین n شیء متمایز r شیء را انتخاب کنیم (بدون توجه به ترتیب آنها) از فرمول ترکیب

استفاده میکنیم:

(r n) (n r)! r!
n!
r
n C(n , r)    






 
 مثال: به چند طریق میتوان از بین 7 نفر، سه نفر را انتخاب کرد؟

 حل: در این سؤال هیچ ترتیبی برای آن سه نفر ذکر نشده است (با مثال قبل مقایسه کنید) بنابراین از فرمول

ترکیب استفاده میکنیم.

35
4 3
7 6 5 4
7 3 3
7
7 3  
       ! !
!
( )! !
! C( , )
 نکتهی (6): روابط زیر در محاسبهی ترکیب مهم هستند:
2
1
2
n n(n  ) 






 n n
n n 







 







1 1
1 0 






 







n
n n
n r r :(7) نکتهی  r
n
r
n     







 








 :مثال  






 







9
12
3
12 






 







8
10
2
10 






 







4
7
3
7

  نکتهی (8): تعداد زیرمجموعههای r عضوی از یک مجموعهی n عضوی برابر است با: 





r
n
 n 2 نکتهی (9): تعداد کل زیرمجموعههای یک مجموعهی n عضوی برابر است با:
n
n
n ... n n n 2 0 1 2 







  























     

 مثال: مجموعهی اعداد طبیعی یک رقمی چند زیرمجموعهی سه عضوی دارد؟
 حل: مجموعهی اعداد طبیعی یک رقمی شامل 9 عضو است. بنابراین تعداد زیرمجموعههای سه عضوی آن برابر است با:
3 4 7 84
3 2 1
9 8 7
6 3
9 8 7 6
9 3 3
9
3
9
9 3      
   
      






  ! !
!
( )! !
! C( , )

  نکتهی (10): رابطهی روبهرو همواره برقرار است: 




 








 






 
r
n
r
n
r
n
1
1 1





آزمایش یا پدیدهی تصادفی: آزمایشی که قبل از وقوع، نتیجهی آن معلوم نباشد ولی نتایج ممکن آن مشخص

باشند، یک آزمایش تصادفی یا

پدیدهی تصادفی نامیده میشود.

 مثال: پرتاب سکه و پرتاب تاس، آزمایشهایی هستند که نتایج آنها قبل از وقوع معلوم نیست ولی قابل حدس

زدن است.

الف- فضای نمونهای: مجموعهی همهی حالات ممکن یک پدیدهی تصادفی، فضای نمونهای نامیده میشود و معمولاً آن را با S نمایش میدهیم.

 S1  {پ , ر} :سکه یک پرتاب و S2  {1 , 2, 3, 4, 5, 6} :تاس یک پرتاب :مثال

 نکتهی (1): هر نتیجهی ممکن، یعنی هر عضو S را یک برآمد مینامیم. در هر آزمایش تصادفی تنها یکی از

اعضای مجموعه رخ میدهد.

ب- فضای پیشامد: به هر زیر مجموعه از فضای نمونهای، یک پیشامد گفته میشود. مانند:

2 B  {2,3,5} تاس شدهی رو عدد بودن اول پیشامد :
B  S
1 A  {پ} سکه آمدن پشت پیشامد : A  S
تمام زیرمجموعهها

مقدمات

فضای نمونهای

فضای پیشامد

محاسبهی احتمال

 نکتهی (2): وقتی میگوییم یک پیشامد رخ داده است (به وقوع پیوسته است)، یعنی عضوی از آن پیشامد به

عنوان نتیجهی آزمایش، مشاهده

شده است.

 نکتهی (3): هر زیرمجموعهی تک عضوی از فضای نمونهای را پیشامد ساده مینامیم.

2 است.  n نکتهی (4): اگر فضای نمونهای یک پدیدهی تصادفی n عضو داشته باشد، تعداد پیشامدها همان

تعداد زیر مجموعهها یعنی

 نکتهی (5): برای محاسبهی تعداد اعضای فضای نمونهای چند آزمایش با هم، مطابق اصل ضرب، تعداد حالات

مختلف آزمایشها را درهم

ضرب میکنیم.
 مثال: فضای نمونهی پرتاب دو سکه و یک تاس با هم، 22 6  24 عضو دارد. (هر سکه 2 حالت و هر تاس

6 حالت مختلف دارد)

n محاسبهی احتمال: اگر فضای نمونهای S دارای n برآمد هم شانس باشد، احتمال وقوع هر برآمد برابر

است و اگر پیشامد A از این فضا دارای 1

m n برآمد باشد،

P(A)  برقرار است. بنابراین برای محاسبهی احتمال وقوع یک پیشامد در فضای گسسته کافی است تعداد

اعضای فضای m

پیشامد را بر تعداد اعضای فضای نمونهای تقسیم کنیم.

n(S)
n(A) A  S  P(A) 
 0  P(A)  1 :داریم ،باشد S از پیشامدی A اگر :(6) نکتهی 





پیشامد متمم: A را متمم پیشامد A میگویند. (P(A یعنی محاسبهی احتمال این که پیشامد A اتفاق نیفتد.

 
P(A)  1 P(A)

 نکته: معمولاً زمانی از پیشامد متمم استفاده میشود که تعداد حالات پیشامد خواسته شده زیاد و تعداد حالات متمم آن کم باشد.
 مثال: در پرتاب 6 سکه با هم، احتمالی را حساب کنید که حداکثر 5 بار «رو» ظاهر شود.
2 2  2 2 2 2  2 یعنی 64 عضو دارد.  6 حل: هر سکه 2 حالت دارد. بنابراین فضای نمونهای پرتاب 6 سکه با هم، مطابق اصل ضرب
حداکثر 5 بار «رو» یعنی 5 بار یا 4 بار یا 3 بار یا 2 بار یا 1 بار یا هیچ بار «رو»، همانطور که ملاحظه میکنید محاسبهی تعداد این حالات زیاد
است. متمم این پیشامد یعنی اینکه همهی سکهها «رو» ظاهر شوند که فقط یک حالت است.
64
63
64
1 P( «رو» بار 5 حداکثر )  1 P( «رو» بار 6)  1 
عملیات بر روی پیشامدها
A ) A B یا B : پیشامد رخ دادن حداقل یکی از دو پیشامد)


A ) A B و B : پیشامد رخ دادن هر دو پیشامد)



پیشامدهای سازگار و ناسازگار: اگر دو پیشامد با هم اشتراک نداشته باشند، ناسازگارند و در غیر این صورت

 سازگار خواهند بود.

 مثال: در پرتاب یک تاس، پیشامدهای زوج بودن عدد رو شده و فرد بودن عدد رو شده، ناسازگارند.

پیشامدهای زوج بودن عدد رو شده و

اول بودن عدد رو شده، سازگارند.

   .ناسازگارند B و A 



 A B
B { , , }
A { , , } 
1 3 5
2 4 6
  .سازگارند B و A 



 A B { } B { , , }
A { , , } 2
2 3 5
2 4 6 



اعداد زوج تاس
اعداد فرد تاس
اعداد زوج تاس
اعداد اول تاس
s
قوانین احتمال
پیشامد متمم
اجتماع دو پیشامد

اجتماع دو پیشامد ناسازگار:
 A B    P(A B)  P(A)  P(B)

اجتماع دو پیشامد سازگار:
 A B    P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B)

 مثال: اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند و
5
2
و P(A)  3
1 .آورید دست به را P(A B) آنگاه ، P(B) 
 15
11
3
1
5
2 A B    P(A B)  P(A)  P(B)   
اتفاق B پیشامد ولی بیفتد اتفاق A پیشامد آنکه یعنی A  B پیشامد : (A  B) A  B پیشامد
نیفتد. با توجه به شکل داریم:
 P(A  B)  P(A)  P(A  B)
 A  B  A  B


دو پیشامد مستقل: دو پیشامد A و B از یک فضا را مستقل از هم مینامیم، هرگاه وقوع یکی بروقوع دیگری

 بیتأثیر باشد.

 مثال: جنسیت فرزندان، پیشامدهای مستقل از هم است. جنس فرزند دوم، ربطی به دختر یا پسر بودن

فرزند اول ندارد. در مورد سکهها، یا

تاسها نیز اینگونه است. یعنی اینکه در دومین پرتاب یک تاس، چه عددی رو میشود، ربطی به عدد تاس اول

ندارد.

 نکتهی (1): هرگاه دو پیشامد مستقل نباشند، یعنی وقوع آنها به هم مرتبط باشد، آنها را وابسته مینامیم.

 .برعکس و P(A  B)  P(A) P(B) :داریم ،باشند مستقل پیشامد دو هرگاه :(2) نکتهی

 نکتهی (3): اگر A و B مستقل باشند، A و A ، B و A ، B و B نیز مستقل هستند.

 مثال: اگر A و B دو پیشامد مستقل باشند و P(A)  0/ 3 و P(B)  0/ 2 ، آنگاه احتمال رخداد هر دو پیشامد

را به دست آورید.

 
P(A B)  P(A) P(B) 0/ 30/2  0/06

مثال: اگر احتمال قبولی شخص A در کنکور ریاضی، 70 درصد و احتمال قبولی شخص B در کنکور تجربی، 40

درصد باشد، احتمال

پیشامدی را حساب کنید که A قبول شود و B قبول نشود؟

قبولی درکنکور ریاضی وتجربی مستقل از هم هستند.

 P(A B)  P(A) P(B)  P(A)(1 P(B)) 0/ 70/ 6 0/ 42

نکتهی (4): استقلال پیشامدها ارتباطی به سازگار یا ناسازگار بودن آنها ندارد. اگر دو پیشامد مستقل،

ناسازگار باشند، آنگاه داریم:

 P(A  B)  P(A) P(B)  0  P(A)  0 یا P(B)  0


احتمال شرطی: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونهای S باشند و پیشامد B اتفاق افتاده

باشد، آنگاه احتمال آن که پیشامد A اتفاق بیفتد را بهصورت (P(A | B تعریف میکنند.

(P(B (بخوانید احتمال وقوع A بهشرط آنکه B اتفاق افتاده باشد)

P(A B) P(A | B)  

همانطور که در شکل میبینید، سهمی از A مورد نظر است که در B وجود دارد یعنی A  B .

پیشامدهای مستقل

احتمال شرطی قاعدهی احتمال کل (روش نمودار درختی)

 مثال: در پرتاب دو تاس اگر بدانیم که مجموع اعداد رو شده بزرگتر یا مساوی 10 آمده است، با چه احتمالی

هر دو عدد با هم برابر هستند؟

 حل: اگر پیشامد B را بزرگتر یا مساوی 10 آمدن مجموع دو تاس و پیشامد A را برابر بودن هر دو عدد تعریف

کنیم، (P(A | B خواسته

شده است. میدانیم فضای نمونهای پرتاب دو تاس 6  6  36 حالت دارد.
 
A  {(1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) , (6 , 6)}
36

6 B  {(4 , 6) , (6 , 4) , (5 , 5) , (5 , 6) , (6 , 5) , (6 , 6)}  P(B) 
36

2 A  B  {(5 , 5) , (6 , 6)}  P(A  B) 
3
1
6
2
36
6
36
2
    P(B)

P(A B) P(A | B) 

B نیز دو پیشامد ناسازگار از همین فضا باشند، به B 2 و 1 قاعدهی احتمال کل یا قانون جمع احتمالات: اگر A

پیشامدی از فضای نمونهای S و

P(A) P(B ) P(A | B ) P(B ) P(A | B ) :داریم آنگاه ، B1 B2  S که طوری 1 1 2 2


   
 نکته: مسائل مربوط به قانون جمع احتمالات را به روش نمودار درختی حل میکنیم.




توزیع دوجملهای (شکست یا پیروزی): اگر آزمایشی فقط دو حالت داشته باشد و آن را n مرتبه انجام دهیم،

توزیع دوجملهای ایجاد میشود که

فرمول احتمال وقوع x بار از یکی از آن دو حالت بهصورت زیر است:
x n x P ( P) x
n P(x)     






  1
در این فرمول P احتمال خواسته شده (یکی از آن دو حالت) است.

 مثال: 60 درصد ممکن است شوت یک بازیکن گل شود. او در یک مسابقه 5 شوت میزند، با چه احتمالی فقط 3

 شوت او گل میشود؟

 :داریم .است n  5 و x  3 و P  0/ 6 سؤال این در :حل  3 5 3 3 2 0 6 0 4
3
5 0 6 1 0 6
3
5
P(3) ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) 






    






  
 نکته: اگر احتمال شکست یا پیروزی با هم برابر باشند (مانند جنس فرزند یا پرتاب سکه در حالت همشانس)

فرمول توزیع دوجملهای

بهصورت زیرساده میشود:
n
x
n
P(x)
2








 
دقت کنید که در فرمول اصلی به جای P ، عدد
2
قرار دادهایم. در این فرمول x تعداد دفعات خواسته شده و n تعداد کل دفعات است. 1

 مثال: با چه احتمالی در یک خانواده با 5 فرزند، فقط 3 دختر وجود دارد؟

 حل: در این سؤال
2
1 :داریم .است n  5 و x  3 و P 
16
5
32
10
2
3
5
3
5  








 P(
۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ آذر ۹۳ ، ۲۰:۵۶
عرفان خرمی
۲۶آذر

ترکیبیات، ریاضیات انتخاب و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخه‌های جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائل شمارش، گرافها، بازی‌ها و نیز مسائل ساختاری روی مجموعه‌ها متناهی می‌پردازد. از جمله کاربردهای مهم این شاخه می‌توان به استفاده آن در برنامه نویسی کامپیوتر و الگوریتم‌ها اشاره کرد. یکی از مسائلی که ترکیبیات را از دیگر شاخه‌های ریاضی متمایز می‌کند این است که آموختن آن نیاز به اطلاعات خاصی از ریاضیات ندارد و داشتن معلومات ریاضی دوره راهنمایی نیز برای درک آن کافی به نظر می‌رسد چرا که ریشه‌های ترکیبیات در واقع به مسائل معماگونه ریاضی و بازیها می‌رسد. بسیاری از مسائل ترکیبیات که در گذشته برای تفریح بررسی شده‌اند امروزه اهمیت زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارند. در قرن اخیر ترکیبیات به یکی از مهمترین شاخه‌های ریاضیات تبدیل شده و مرزهای آن همواره گسترش پیدا می‌کند که یکی از مهمترین علل این گسترش سریع، اختراع کامپیوتر می‌باشد: به علت سرعت بالای کامپیوترها بسیاری از مسائلی که قبلا قابل بررسی نبودند، بررسی شدند. البته تقابل کامپیوتر و ترکیبیات یک طرفه نبوده است و کامپیوترها نمی‌توانستند مستقل عمل کنند و برای عمل نباز به برنامه داشتند. اساس برنامه‌های کامپیوتری غالبا الگوریتمهای ترکیبیاتی اند و به همین دلیل اهمیت و کاربرد ترکیبیات پس از اختراع کامپیوتر چندین برابر معلوم شد و باعث شد تا ریاضیدانان بسیاری به تحقیقات گسترده در این زمینه رو آوردند. مباحث ترکیبیات بسیار گسترده‌اند ولی اساس آن بر پایه روشهای شمارش است که از جمله این روش‌ها می‌توان به اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت اشاره کرد. یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می‌گیرد. ولی به نظر می‌رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه‌های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می‌شود. یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه‌هایی چون نظریه کدگذاری، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتم‌ها (در علم کامپیوتر) دارد.

محتویات

  [نهفتن

·         ۱ قواعد

o    ۱.۱ اصل اول

o    ۱.۲ اصل دوم

o    ۱.۳ قاعده حاصل ضرب

o    ۱.۴ جایگشت

§  ۱.۴.۱ ارائه قضیه دو جمله‌ای

§  ۱.۴.۲ جایگشت با تکرار

§  ۱.۴.۳ جایگشت دوری

·         ۲ منابع

قواعد[ویرایش]

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می‌کنیم قاعده‌های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده‌ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می‌رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مسئله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می‌روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول[ویرایش]

اصل نخست شمارش را می‌توان به صورت زیر بیان کرد: قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد، آنگاه این یا آنگاه را می‌توان به m+n طریق انجام داد.

توجه داشته باشید که وقتی می‌گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می‌تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال ۱ کتابخانه دانشکده‌ای ۴۰ کتاب درسی دربارهٔ جامعه‌شناسی و ۵۰ کتاب درسی در باره انسان‌شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می‌کند، به منظور فراگیری بیشتر دربارهٔ این یا آن موضوع، می‌تواند بین ۹۰ = ۵۰ + ۴۰ کتاب درسی انتخاب به عمل آورد. مثال ۲ قاعده بالا را می‌توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه‌ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می‌تواند هر یک از این ۲۰ کتاب را به دانشجوی علاقه‌مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم[ویرایش]

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است. مدیر کارخانه‌ای به منظور اتخاذ تصمیمی دربارهٔ توسعه کارخانه، ۱۲ نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست دربارهٔ نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است دربارهٔ نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا دربارهٔ تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می‌تواند ۱۲ کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می‌گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می‌کنیم که او می‌تواند به ۳۵ = ۷ * ۵ طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب[ویرایش]

اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می‌تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می‌نامند.

جایگشت[ویرایش]

مفهوم جایگشت که یکی از مفاهیم مهم در اصول شمارش است را می‌توان در اثر عبری سفر یتزیر (سفر آفرینش)، که دستنوشته‌ای است از یک صوفی بین سالهای ۲۰۰و ۶۰۰، یافت. ولی شایان توجه است که، حتی قبل از آن، یکی از نتایجی که زنوکراتس از اهالی کالسدان (۳۹۶ - ۳۱۴ قبل از میلاد مسیح) به دست آورده بود احتمالاً حاوی «نخستین تلاش ثبت شده برای حل مسئله‌ای دشوار دربارهٔ ترتیبها و ترکیبها» است. نخستین متن درسی که دربارهٔ برخی از مباحثی که ما در این فصل مورد بحث قرار دادیم کتاب فن حدس زدن اثر ریاضیدان سویسی یاکوب برنولی یکی از هشت ریاضیدان برجسته خانواده برنولی، است. این کتاب مدتی پس از فوت یاکوب برنولی در ۱۷۱۳ منتشر شد و شامل تجدید چاپ نخستین رساله صوری دربارهٔ حساب احتمالات بود. این رساله در ۱۶۵۷ به وسیله کریستیان هویگنس فیزیکدان، ریاضیدان، و منجم هلندای که حلقه‌های دور مشتری را کشف کرد، نوشته شده بود.

ارائه قضیه دو جمله‌ای[ویرایش]

بلز پاسکال

قضیه دو جمله‌ای به ازای ۲n= در اثر اقلیدس) ۳۰۰ سال قبل از میلاد مسیح) دیده می‌شود، ولی عملاًدر قرن شانزدهم اصطلاح «ضریب دو جمله‌ای» به وسیله میشل اشفل وضع شد. او در اثرش به نام حساب صحیح ضرایب دو جمله‌ای را تا مرتبه به دست می‌دهد. بلزپاسکال در پژوهشهای خود دربارهٔ حساب احتمالات، در دهه ۱۶۵۰ رساله‌ای منتشر کرد که در آن ارتباطهای موجود ضرایب دو جمله‌ای، ترکیبها، و چند جمله ایها را بررسی می‌کرد. این نتایج را یاکوب برنولی هنگام اثبات صورت کلی قضیه دو جمله‌ای، با روشی مشابه با آنچه ما در این فصل ارائه کردیم، به کار برد. استفاده از نماد تا قرن نوزدهم که به وسیله آندره اس فن اتینگهاوزن به کار برده شد، هنوز متداول نشده بود.

در قرن بیستم بود که ظهور کامپیوتر امکان تحلیل منظم و اصولی فرایندها و الگوریتم‌هایی را که برای تولید جایگشتها و ترکیبها به کار می‌روند. فراهم ساخت. به طور کلی برای شمارش جایگشت از روش زیر استفاده می‌کنند.

اگر به عنوان n شی دو به دو متمایز باشند آنگاه هر حال کنار هم قرار گرفتن این n شی کنار هم در یک ردیف را یک جایگشت از این n شی می‌گوییم. برای ردیف کردن این n شی کنار هم به n مکان نیاز است. برای قرار دادن اولین شی در خانه اول n حالت انتخاب داریم. برای قرار دادن دومین شی در خانه دوم n-۱ حالت انتخاب داریم و به همین ترتیب برای قرار داردن n امین شی باقی مانده در خانه nام (خانه اخر) ۱ حالت انتخاب داریم به این ترتیب بر طبق اصل ضرب برای قرار دادن این n شی در کنار هم در یک ردیف:

حالت وجود دارد که برابر می‌باشد با:

به این ترتیب تعداد حالات جایگشت n شی دو به دو متمایز برابر است.

مثال: به چندطریق می‌توان ۵ کتاب متفاوت را کنار هم در یک قفسه قرار داد؟

پاسخ: برطبق توضیحات داده شده جواب برابر است با:1*2*3*4*5=!5


جایگشت خود می‌توان به ۲ بخش تقسیم شود: ۱- جایگشت با تکرار ۲- جایگشت دوری

جایگشت با تکرار[ویرایش]

در قسمت قبل در مورد گونه‌ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلا ۳ عدد از انها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می‌کند. با یک مثال روش محاسبه را توضیح می‌دهیم و سپس فرمولی برای محاسبه حالات بیان می‌کنیم:

فرض کنید می‌خواهیم فقط با ارقام ۱٫۲٫۲٫۳ اعداد چهار رقمی بسازیم. یعنی عدد ۱ یکبار، عدد ۲ دو بار، عدد ۳ یکبار آمده باشد. بدیهی است که اگر این چهار رقم متمایز و به غیر صفر بودند تعداد اعداد برابر ۲۴=!۴ عدد می‌شد ولی اصل ضرب در این مورد ناخواسته دو عدد ۲ را متمایز در نظر گرفته است و مثلا ۱۲۲۳ و ۱۲۲۳ را دو حالت متمایز در یظر گرفته است در حالی که این دو تفاوتی با هم ندارند. با نوشتن تعداد حالات متوجه می‌شویم که تعداد حالات واقعی این جایگشت !۲ برابر مقدار محاسبه شده با اصل ضرب است به این ترتیب تعداد حالات واقعی برابر است. پس به این ترتیب تعداد k شی از یک نوع، به اندازه !K حالات اضافه تولید می‌کنند که باید از کل حالات که با اصل ضرب محاسبه می‌شود برداشته شوند.

تعریف: اگر n شی در اختیار داشته باشیم که تا از نوع اول، تا از نوع دوم، تا از نوع سوم،.... و تا از نوع k ام باشند به گونه‌ای که این n شی به طریق می‌توانند در کنار هم قرار بگیرند. در فرمول فوق علت تقسیمها حذف حالات اضافی بوجود آمده است.

مثال: ۸ پرچم موجوداند که ۳تا به رنگ آبی و ۲تا به رنگ قرمز و ۳تا به رنگ سفید یکسان هستند. اگر قرار باشد این پرچم‌ها در یک ردیف کنار

هم قرار گیرند چند علامت متمایز ۸ پرچمی می‌توان ساخت؟

پاسخ:بر طبق مطالب فوق و فرمول ارائه شده تعداد حالات برابر است با:

واضح است که در این سوال پرچمهای آبی !۳ و قرمز !۲ و سفید !۳ حالت اضافی تولید می‌کنند که باید از حالات کل یعنی !۸ حذف شوند.

جایگشت دوری[ویرایش]

تا به حال در مورد جایگشتهایی بحث کردیم که در مورد کنار هم قرار دادن چند شی در یک ردیف بودند. حال می‌خواهیم گونه‌ای جایگشت را بررسی کنیم که در آن اشیا به صورت دوری در کنار هم قرار گیرند. با یک مثال نحوه محاسبه تعداد حالات جایگشت را توضیح می‌دهیم و در نهایت فرمولی برای محاسبه ان ارائه می‌دهیم: فرض کنید می‌خواهیم تعداد حالاتی را که ممکن است ۳ نفربه دور یک میز گرد بنشینند محاسبه کنیم. اگر قرار بر این بود که این افراد در یک ردیف کنار هم باشند این عمل به ۶=!۳ حالت صورت می‌پذیرفت. اما در نشستن به دور میز گرد مسئله متفاوت است چرا که بر طبق شکل در این جایگشت هر ۳ حالت:

یک حالت محسوب می‌شوند چرا که هر یک دوران یافته دیگری در یک زاویه معین است و نیز هر سه حالت:

نیز یک حالت محسوب محسوب می‌شوند. پس تعداد کل حالات متمایز برابر دو عدد است.

به عبارت دیگر می‌توان A را یکجا قرار داده و B و C را در اطراف او نشاند. این کار به !۲=!(۱-۳) طریق رخ می‌دهد.

نتیجه: در حالت کلی برای محاسبه جایگشت‌های دوری n شی دو به دو متمایز ابتدا یکی آنها را ملاک قرار داذه (فرق نمی‌کند کدام را) و سپس n-۱ شی باقی مانده را به !(n-1) حالت به دور او قرار می‌دهیم. پس تعداد حالات جایگشت دوری n شی دو به دو متمایز برابر است با

منابع[ویرایش]

·         آنالیز ترکیبیاتی- گریمالدی - انتشارات فاطمی

·         آنالیز ترکیبی -پرویز شهریاری - انتشارات رشد

·         ترکیبیات

 

 

۰ نظر موافقین ۰ مخالفین ۰ ۲۶ آذر ۹۳ ، ۱۹:۵۸
عرفان خرمی